Je správnější používání aritmetického nebo geometrického průměru pro odhad rizikové prémie kapitálového trhu z historických dat?
Použití historických dat jako prediktoru očekávané rizikové prémie trhu („EERP“) je možné za předpokladu stacionarity této veličiny. Jinak řečeno, využít historická pozorování pro určení EERP je možné, pakliže tato splňují následující podmínky:
a) Očekávaná veličina má stanovitelnou (a tedy neměnnou) průměrnou hodnotu a rozptyl
b) Očekávaná veličina nevykazuje autokorelaci;
Přičemž obě tyto podmínky vyplývají z teorie efektivity trhu (přinejmenším v polosilné formě).
V případě akceptace těchto podmínek, a tedy použití historických dat, je potom aritmetický průměr nevychýleným prediktorem EERP pro jednoletý (single-period) odhad této veličiny. To lze lehce ilustrovat např. na známém příkladu prof. Ibbotsona s výpočtem průměrného jednoletého výnosu pro akcii s binomickým rozdělením pravděpodobnosti (tedy pouze dvěma možnými ročními výnosy) +30% a -10%, přičemž oba tyto stavy mají stejnou pravděpodobnost (p=0,5 pro obě veličiny).
Jak ukazuje tabulka 1 s ilustračním výpočtem pro 5 leté období, je aritmetický průměr správným odhadem skutečné p.a. výnosnosti akcie (+10%), přičemž situace je identická i v případě normálního či lognormálního rozdělení.
Tabulka 1, Binomické rozdělení, průměr
Legenda: Path prob= pravděpodobnost příslušné větve; Return 1 a 2= možné výnosy p.a.; N(+) a N(-)= popis větve (např. N(+)=5 znamená 5x výnos +30%; AM= Aritmetický průměr; GM= Geometrický průměr
Obtíže s použitím průměrů jako EERP nastávají v případě použití historického výnosu trhu pro diskontování a složené diskontování (tedy situace, kdy jednou sazbou diskontujeme multiperiodické toky). Diskontní faktor [1/(1+r)^N] je konvexní funkcí a díky Jensenově nerovnosti je tato veličina vyšší než očekávaný diskontní faktor a tedy průměrná historická výnosnost trhu je vždy nižší než EERP, přičemž odchylky mohou být významné a různí autoři navrhují použití modifikovaných metod průměrování či speciálních postupů (viz např. [2], [4], [6]).
Pakliže se ovšem omezíme pouze na variantu aritmetický vs. geometrický průměr a jejich vzájemnou superioritu/inferioritu jako prediktoru EERP ve složeném diskontování, je dle Breuer (2011) aritmetický průměr za všech okolností (tedy pro různé hodnoty relevantních veličin, g, r, T a N) superiorní geometrickému průměru [4], přičemž geometrický průměr je vždy vychýlen směrem k nižším hodnotám EERP a vždy hodnotu firmy nadhodnocuje. Tyto závěry jsou v souladu s Cooper (1996).
Z hlediska odborné praxe dává zajímavou perspektivu Fernández (2008), který analyzuje metody stanovení a hodnoty rizikové prémie trhu ve sto učebnicích firemních financí. Při použití historických výnosů trhu celkem 25 autorů doporučuje použití aritmetického a 28 autorů pak geometrického průměru, přičemž doporučované hodnoty jsou mezi 3,5% až 9,5%.
Za zmínku stojí i chyba odhadu (standardní chyba), která je pro pozorování výnosů amerického akciového trhu (S&P 500) v období 75 let cca. 2,9%, a 95% interval spolehlivosti pro odhad EERP je tedy velmi široký mezi 1,55% a 13,36% (při historické ERP= 7,72%).
Závěr
Správnější je používání aritmetického průměru, z hlediska formální správnosti a chování obou metod v diskontování a dosahované správnosti výpočtu lze použití geometrického průměru jako prediktoru EERP vyloučit.
Z hlediska v praxi užívaných metod je rozhodnutí o použití AM či GM inkonklusivní, přičemž cca. polovina autorů učebnic korporátních financí doporučuje použití AM a polovina GM.
Literatura
Indro, D.C. and W. Y. Lee, 1997, Biases in Arithmetic and Geometric Averages as Estimates of Long-run Expected Returns and Risk Premium, Financial Management, v.26, 81-90.
Breuer W., Fuchs D., Mark K., 2011, Estimating Cost of Capital in Firm Valuations with Arithmetic or Geometric Mean - Or Better Use the Cooper Estimator?, SSRN Working Paper
Cooper, I. (1996), Arithmetic versus Geometric Mean Estimators: Setting Discount Rates for Capital Budgeting, European Financial Management 2 (July): 157-167
Comentarios